Onda - Ondas en una membrana
Lanza una piedra imaginaria y ve a qué velocidad se propagan las ondas.
Ciencia Fácil 🧪
¡Para curiosos!¡Piedras al agua! ¿Has tirado una piedra a un charco de agua? Se forman círculos (ondas) que viajan hacia afuera y rebotan en las orillas. Aquí puedes tirar piedras virtuales y ver qué tan rápido viajan los círculos.
Monitor del Dominio Científico
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¿Qué es la Ecuación de Onda? 🧐
La ecuación de onda describe la propagación de perturbaciones y energía oscilatoria a través de un medio (como el aire, el agua o una membrana tensa) a una velocidad determinada. A diferencia de la difusión, la onda conserva la energía oscilando en lugar de disiparse de inmediato.
Analogías Físicas y Aplicaciones:
- Piedra en un estanque: Al lanzar una piedra al agua quieta, perturban la superficie y crean círculos concéntricos de olas que viajan hacia afuera y rebotan en las orillas.
- Instrumentos musicales: El sonido de una guitarra o un tambor se genera por ondas de presión en el aire producidas por la vibración de las cuerdas o del parche elástico.
- Sismología: Las ondas sísmicas viajan a través de la corteza terrestre durante un terremoto. Esta ecuación ayuda a los ingenieros a predecir cómo se moverá el suelo y a diseñar edificios antisísmicos.
Dinámica de Ondas e Integración de Verlet 🧠
Ecuación de Onda Bidimensional:
$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \implies \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$
- \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\): Aceleración vertical del medio en cada punto (segunda derivada temporal).
- \(c\): Velocidad de propagación de la fase de la onda.
- \(\nabla^2 u\): El operador Laplaciano espacial, que actúa como la fuerza de tensión elástica local restauradora.
Integración Temporal de Verlet en mGFD:
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden en el tiempo requieren esquemas que preserven la inercia del sistema y almacenen datos históricos de pasos previos:
- El Laplaciano espacial \(\nabla^2 u^n\) se aproxima en cada nodo de la nube usando el soporte irregular del mGFD.
- Se utiliza el Esquema de Verlet (o diferencias finitas centradas de segundo orden) en el tiempo: $$u^{n+1} \approx 2u^n - u^{n-1} + c^2 \Delta t^2 \nabla^2 u^n$$
- Para calcular la inercia, se requiere conservar el estado actual (\(u^n\)) y el estado inmediatamente anterior (\(u^{n-1}\)).
- Para observar reflexiones elásticas en las orillas irregulares de los lagos, se implementan condiciones de frontera reflectivas de Dirichlet (\(u=0\)) o Neumann elástico homogéneo (\(\frac{\partial u}{\partial n}=0\)).